Algebraische Strukturen [Lecture notes] by Thomas Keilen

By Thomas Keilen

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N} = {a1 , . . , ak } ∪ {b1 , . . , bn−k }, k ≥ 2, und σ= a1 a2 . . ak−1 ak b1 . . bn−k a2 a3 . . ak a1 b1 . . bn−k ∈ Sn , so heißt σ ein k-Zyklus, und wir sagen, daß sie die Zahlen a1 , . . , ak zyklisch vertauscht. Die Abbildungsvorschrift eines solchen k-Zyklus l¨aßt sich deutlich kompakter durch das folgende einzeilige Schema repr¨asentieren: σ = (a1 . . ak ). (20) b. Ein 2 − Zyklus wird auch eine Transposition genannt. Eine Transposition τ = (i j) ist mithin eine Permutation, die nur die zwei Zahlen i und j miteinander vertauscht, alle anderen aber fest l¨aßt.

D. Ist (G, ·) eine Gruppe und g ∈ G, so definiert man ig : G → G : h → ghg−1 =: hg . ig heißt innerer Automorphismus oder Konjugation mit g. Behauptung: Die Konjugation ist ein bijektiver Gruppenhomomorphismus. F¨ ur h, k ∈ G gilt: ig (hk) =g(hk)g−1 = g hek g−1 = g h g−1 g k g−1 = ghg−1 gkg−1 = ig (h) · ig (k), also ist ig ein Gruppenhomomorphismus. Außerdem gilt f¨ ur ein beliebiges h ∈ G: (ig ◦ ig−1 )(h) = g g−1 h g−1 −1 g−1 = gg−1 h gg−1 = ehe = h = idG (h), also ist ig ◦ ig−1 = idG . 20. Mit der Notation aus obigem Beispiel ist offenbar ig = Rg ◦ Lg−1 .

Wir wollen versuchen, dies so in Worte zu fassen, daß dem Leser daraus die allgemeine Vorgehensweise ersichtlich wird. Man starte mit der kleinsten Zahl, 1, und suche ihr Bild unter σ, also σ(1) = 2. Das liefert den Startteil des ersten Zyklus: (1 2 Sodann betrache man das Bild von 2 unter σ, also σ(2) = 5, und erh¨alt: (1 2 5 Man f¨ahrt mit dem Bild von 5 unter σ, also σ(5) = 1, fort. Da dieses das erste Element des ersten Zyklus war, schließen wir den Zyklus, (1 2 5), und beginnen den zweiten Zyklus mit der kleinsten Zahl in {1, .

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