Analysis und mathematische Physik by Hans Triebel

By Hans Triebel

Von 1974 bis 1979 hatte ich an der Friedrich-Schiller-Universitat in Jena die sicherlich nicht alltagliche Gelegenheit, einen durchgehenden 10semestrigen Kurs flir Mathematikstudenten zu lesen. Entsprechend dem Studienplan hatten diese Vorlesungen verschiedene N amen (Differential- und Integralrechnung, gewohn liche Differentialgleichungen usw.), Inhalt und Zielstellung werden aber wohl am besten durch "Analysis und mathematische Physik" ausgedriickt. Das Buch ist das erweiterte Skelett dieses Kurses. Skelett insofern, als auf Beweise weitgehend verzichtet wurde (im Gegensatz zu groBen Teilen der Vorlesung). Andererseits wurden die Kapitel 27, 32 und 33 nachtraglich eingefligt. Das Ziel des Kurses ist klar, wenn guy einen Blick in das Inhaltsverzeichnis dieses Buches wirft: Einerseits hat die Mathematik groBartige, elegante, in sich geschlossene Theorien entwickelt, die keiner weiteren Rechtfertigung bediirfen. Andererseits sind es oft gerade die schonsten dieser Theorien, die zugleich das Fundament bilden, auf dem klassische und moderne theoretische Physik ruhen. Es struggle das Ziel, nicht nur diese Fundamente zu beschreiben, sondern auch einen Eindruck von den Gebauden zu vermitteln, die iiber ihnen errichtet werden konnen. Getreu dem Hilbertschen excellent werden hierbei mathematische Theorien und ihre physikalischen Interpretationen und Anwendungen sauberlich getrennt.

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Der Satz bleibt richtig, wenn k nur endlich viele Werte annimmt, d. h. wenn {Zj} nur in endlich viele Teilfolgen zerlegt wird. Satz 3 (Multiplikation88atz). Die komplexen Reihen ~ z; und ~ Wk 8eien ab80lut ;=1 k=l konvergent. Ferner be8tehe eine umkehrbar eindeutige Zuordnung zwi8chen den Elementen ZjWk und den Elementen u" wobei j, k und l jeweil8 die naturlichen Zahlen durchlaufen. 3. 1. Bemerkung 3. mtliche Produkte ZjWk und ordnet diese irgendwie an, z. B. ZtWl, Z;jwt> ztW2, z3w1> Z;jw2, ztW3, z,Wt> ••• und nennt diese Reihenglieder 111' Uj, u3,'" Beispiel.

Bemerkung 1. 2. Die Einheitil. wurzeln bilden die Ecken eines regularen Polygons. 3. 3. Satz 1. Da8 Polynom z"-l besitzt in 0 1 genau n ver8chiedene Nu1l8tellen (al80 komplexe Zahlen z mit z" -1 = 0). Die8e 8ind die n-ten Einheit8wurzeln. Bemerkung 2. Der Satz folgt aus den obigen Betrachtungen. Es entsteht die Frage, ob fiir beliebige komplexe Polynome n-ten Grades " a;z;, ~ ;=0 a; komplex, ein ahnlicher Sachverhalt " . gilt. Wir kiinnen 1ln'*'0 voraussetzen. Hierbei heiBt zi NuIlsteIle, falls ~ a;zl =0 gilt.

Da8 Polynom z"-l besitzt in 0 1 genau n ver8chiedene Nu1l8tellen (al80 komplexe Zahlen z mit z" -1 = 0). Die8e 8ind die n-ten Einheit8wurzeln. Bemerkung 2. Der Satz folgt aus den obigen Betrachtungen. Es entsteht die Frage, ob fiir beliebige komplexe Polynome n-ten Grades " a;z;, ~ ;=0 a; komplex, ein ahnlicher Sachverhalt " . gilt. Wir kiinnen 1ln'*'0 voraussetzen. Hierbei heiBt zi NuIlsteIle, falls ~ a;zl =0 gilt. Satz 2 (Fundamentalsatz der Algebra). ;=0 " ~ OjZi, aj komplex, a,,=I=O, besitzt genau n i=O komplexe Nu1l8tellen.

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